Equazioni di
secondo grado

Risolvere ax2 + bx + c = 0 significa cercare i punti in cui una parabola attraversa l'asse delle x. Formula, discriminante, vertice e asse di simmetria in una pagina.

x y x₁ = −1 x₂ = 3 V (1 ; −4) asse di simmetria: x = 1
La parabola y = x2 − 2x − 3: le radici dell'equazione sono le ascisse dei punti in cui la curva incontra l'asse x.

La formula risolutiva

Un'equazione è di secondo grado quando può essere scritta in forma normale, con a ≠ 0:

ax2 + bx + c = 0

Le soluzioni si ottengono sempre dalla stessa formula:

x = −b ± b2 − 4ac2a

La quantità sotto radice si chiama discriminante e si indica con Δ: è lei a decidere quante soluzioni esistono.

Δ = b2 − 4ac

Tre casi, tre disegni

Cambiando solo il termine noto c, la stessa parabola scorre verso l'alto o verso il basso rispetto all'asse x. Ecco cosa succede.

Δ > 0

Due soluzioni reali e distinte. La parabola taglia l'asse x in due punti.

Δ = 0

Una sola soluzione, contata due volte. La parabola è tangente all'asse x: il vertice lo tocca appena.

Δ < 0

Nessuna soluzione reale. La parabola resta tutta sopra (o tutta sotto) l'asse x.

Significato geometrico

All'equazione ax2 + bx + c = 0 corrisponde la funzione y = ax2 + bx + c, il cui grafico è una parabola con asse verticale. Risolvere l'equazione vuol dire chiedersi: dove vale zero questa funzione? Cioè: dove la curva incontra l'asse delle x.

Il coefficiente a governa la forma: se a > 0 la concavità è rivolta verso l'alto e il vertice è il punto più basso; se a < 0 la concavità è verso il basso e il vertice è il punto più alto. Più |a| è grande, più la parabola è stretta.

Vertice e asse di simmetria

Ogni parabola è simmetrica rispetto a una retta verticale che passa per il suo vertice. La sua equazione è:

x = −b2a

Il vertice è il punto della parabola che sta su quella retta, e le sue coordinate sono:

V ( −b2a ; −Δ4a )

L'ordinata si può sempre ricavare anche per sostituzione: calcolata l'ascissa xV, basta sostituirla nell'equazione della parabola per ottenere yV.

La simmetria spiega anche una cosa utile: quando le soluzioni esistono, il vertice sta esattamente a metà fra loro, perché xV è la media di x1 e x2.

Un esempio completo

Risolviamo x2 − 2x − 3 = 0 e disegniamo la sua parabola: è quella della prima figura.

  1. Riconosco i coefficienti.
    a = 1 ,   b = −2 ,   c = −3
  2. Calcolo il discriminante.
    Δ = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16
  3. Applico la formula. Poiché Δ > 0, le soluzioni sono due.
    x = 2 ± 162 = 2 ± 42
    x1 = −1 ,   x2 = 3
  4. Trovo il vertice.
    xV = 22 = 1 ,   yV = −164 = −4
  5. Scrivo l'asse di simmetria e verifico che passi a metà fra le due radici.
    x = 1 ,   −1 + 32 = 1 ✓

Provalo tu: muovi i coefficienti

Cambia a, b e c e osserva come rispondono la curva, il vertice e le soluzioni. Domande da tenere in mano mentre giochi: cosa succede al vertice se muovi solo c? E se cambi il segno di a?

Tutto il caso svolto in un disegno solo

La figura raccoglie quello che i conti hanno prodotto fin qui per y = x2 − 2x − 3: la parabola, i due punti in cui taglia l'asse x, il vertice e l'asse di simmetria. Sotto al grafico sono riportati il discriminante e i valori che si leggono sul disegno.

discriminante—
soluzioni—
vertice—
asse di simmetria—

I tre casi si distinguono a colpo d'occhio dal numero di punti in cui la curva incontra l'asse x: due se Δ > 0, uno solo se Δ = 0, nessuno se Δ < 0. Il segno di a decide invece da che parte è rivolta la concavità.

Dove serve davvero: un pallone in aria

Un pallone viene calciato verso l'alto da un'altezza di 1 m con velocità iniziale 12 m/s. Trascurando l'attrito dell'aria, l'altezza da terra dopo t secondi è descritta proprio da un'equazione di secondo grado:

h(t) = −4,9 t2 + 12 t + 1

Qui la parabola non è la traiettoria vista di lato: è il grafico dell'altezza in funzione del tempo. Il coefficiente a = −4,9 vale −g/2 ed è negativo, quindi la concavità è verso il basso: c'è un punto più alto, ed è il vertice.

t (s) h (m) massima altezza: 8,3 m a 1,22 s tocca terra a 2,53 s parte da 1 m
Altezza del pallone nel tempo: il vertice è l'istante di quota massima, la radice positiva è l'istante in cui tocca terra.

Quando torna a terra?

Si impone h(t) = 0 e si risolve l'equazione:

t = −12 ± 144 + 19,6−9,8 → t ≈ −0,08 ;  t ≈ 2,53

Le soluzioni matematiche sono due, ma una è negativa: corrisponde a un istante prima del calcio, quindi non ha senso fisico e si scarta. Il pallone torna a terra dopo circa 2,53 s. È un passaggio importante: la matematica dà tutte le risposte possibili, il problema reale decide quali tenere.

Qual è l'altezza massima?

Basta il vertice, senza bisogno di provare valori a caso:

tV = −122 · (−4,9) ≈ 1,22 s ,   hV = h(1,22) ≈ 8,3 m

Lo stesso schema descrive molte altre situazioni: l'area massima di un recinto di perimetro dato, il ricavo massimo quando il prezzo fa calare le vendite, la forma di un arco o di un cavo teso sotto carico. Ogni volta che una grandezza dipende dal quadrato di un'altra, compare una parabola e il vertice è il valore ottimale.

Scorciatoie da tenere a mente

Scheda di matematica — equazioni di secondo grado e parabole.

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