Monomi e
polinomi
Le espressioni letterali si costruiscono come parole: prima le lettere e i numeri che stanno insieme, poi le somme. Definizioni, gradi e tutte le operazioni, con i conti svolti.
Che cos'è un monomio
Un monomio è un'espressione letterale in cui compaiono soltanto moltiplicazioni e potenze con esponente naturale. Non ci sono addizioni, sottrazioni, né lettere al denominatore o sotto radice.
| Sono monomi | Non sono monomi |
|---|---|
| −3a²b | 2x + y |
| ½ x³y | 3/x |
| 7 | √a |
Un monomio è in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico per le lettere, ciascuna presa una volta sola con il proprio esponente. Per esempio 2a · 3ab non è in forma normale, mentre 6a2b lo è.
Coefficiente e parte letterale
Il numero davanti si chiama coefficiente, l'insieme delle lettere con i loro esponenti è la parte letterale. Se il coefficiente è 1 o −1 non si scrive: a2b significa 1 · a2b.
Il grado
Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le lettere; il grado rispetto a una lettera è l'esponente di quella lettera soltanto.
Monomi simili
Due monomi sono simili quando hanno la stessa identica parte letterale, indipendentemente dal coefficiente. Sono uguali se coincidono anche i coefficienti, opposti se i coefficienti sono opposti.
Questa definizione è la chiave di tutto il capitolo: due monomi si possono sommare solo se sono simili, mentre si possono sempre moltiplicare.
Operazioni con i monomi
Addizione e sottrazione
Solo fra monomi simili: si sommano i coefficienti e si lascia invariata la parte letterale.
5a²b − 2a²b = 3a²bMoltiplicazione
Sempre possibile: si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali.
2a²b · (−3ab³) = −6a³b⁴Divisione
Si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti delle lettere uguali.
12a⁴b³ : 4a²b = 3a²b²Somma: attenzione ai non simili
Se i monomi non sono simili, la somma resta indicata: non si può fare altro, e il risultato è un polinomio.
Prodotto e potenza
Nel prodotto si applica la proprietà delle potenze di uguale base: am · an = am+n. Nella potenza di un monomio, invece, l'esponente si distribuisce su tutti i fattori, coefficiente compreso.
Il grado del prodotto è la somma dei gradi dei fattori: nell'esempio 3 + 5 = 8, e infatti −6x3y5 ha grado 8. È un buon controllo veloce.
Divisione
Il quoziente di due monomi è ancora un monomio solo se ogni esponente del divisore non supera quello corrispondente del dividendo; altrimenti si ottiene una frazione algebrica.
Che cos'è un polinomio
Un polinomio è la somma algebrica di due o più monomi, detti termini. Un monomio da solo si considera il caso più semplice di polinomio.
Si dice ridotto a forma normale quando tutti i termini simili sono già stati sommati fra loro e non ce ne sono più di riducibili. In base al numero dei termini si parla di binomio (due), trinomio (tre), quadrinomio (quattro).
Grado di un polinomio
Il grado complessivo di un polinomio è il grado più alto fra quelli dei suoi termini. Si può parlare anche di grado rispetto a una singola lettera, con lo stesso criterio.
Un polinomio in una sola lettera si dice ordinato quando i termini sono scritti secondo esponenti crescenti o decrescenti, e completo quando compaiono tutte le potenze dal grado massimo fino al termine noto.
Ordinare un polinomio prima di operare non è una formalità: rende immediato il confronto fra termini simili ed è indispensabile per la divisione fra polinomi.
Operazioni con i polinomi
Somma e differenza
Si eliminano le parentesi e si sommano fra loro i termini simili. Se davanti alla parentesi c'è un segno meno, tutti i termini interni cambiano segno.
Monomio per polinomio
Si applica la proprietà distributiva: il monomio moltiplica ciascun termine del polinomio.
Polinomio per polinomio
Ogni termine del primo va moltiplicato per ogni termine del secondo; alla fine si sommano i termini simili. Se i due polinomi hanno rispettivamente h e k termini, i prodotti da scrivere sono h · k.
Il grado del prodotto è la somma dei gradi: qui 1 + 2 = 3. Se il risultato ha grado diverso, c'è sicuramente un errore.
Divisione di un polinomio per un monomio
Si divide ogni termine del polinomio per il monomio, sempre per la proprietà distributiva.
L'ultimo termine dà 1, non 0: un monomio diviso per sé stesso vale uno. È l'errore più frequente in questo tipo di esercizio.
Tre prodotti da riconoscere a colpo d'occhio
Alcuni prodotti fra polinomi ricorrono così spesso che conviene saperne il risultato a memoria, invece di rifare ogni volta tutti i passaggi.
| Nome | Formula | Esempio |
|---|---|---|
| Quadrato di binomio | (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| Somma per differenza | (a + b)(a − b) = a² − b² | (x + 5)(x − 5) = x² − 25 |
| Cubo di binomio | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1 |
Nel quadrato di binomio il doppio prodotto è la parte che si dimentica più spesso: (a + b)2 non è a2 + b2. Basta provare con dei numeri per convincersene: (2 + 3)2 = 25, mentre 4 + 9 = 13.
Errori da evitare
- Sommare monomi non simili: 3a + 2b = 5ab è sbagliato, la somma resta 3a + 2b.
- Sommare gli esponenti nell'addizione: x² + x² = x⁴ è sbagliato, si sommano i coefficienti, 2x².
- Dimenticare il segno meno davanti a una parentesi: va cambiato il segno di tutti i termini interni, non solo del primo.
- Nella potenza di un monomio, lasciare fuori il coefficiente: (3x)² = 3x² è sbagliato, si scrive 9x².
Da tenere a mente
- Si sommano solo i monomi simili, cioè con la stessa parte letterale; si moltiplicano invece sempre.
- Nel prodotto gli esponenti si sommano, nella divisione si sottraggono, nella potenza si moltiplicano.
- Grado di un monomio: somma degli esponenti. Grado di un polinomio: il maggiore fra i gradi dei suoi termini.
- Il grado di un prodotto è la somma dei gradi dei fattori: usalo come controllo finale.
- Un esponente che non si vede vale 1; una lettera che non si vede ha esponente 0.
- Per verificare un risultato, si può sostituire un numero qualsiasi alle lettere nell'espressione di partenza e in quella finale: devono dare lo stesso valore.
Scheda di matematica — monomi, polinomi e loro operazioni.