I prodotti
notevoli
Alcune moltiplicazioni fra polinomi capitano così spesso che conviene conoscerne il risultato a memoria. Ma prima di impararle, vale la pena vedere da dove vengono: quasi tutte si possono disegnare.
Che cosa sono
Un prodotto notevole è una moltiplicazione fra polinomi il cui risultato segue uno schema fisso, sempre lo stesso. Nulla vieta di svolgere i conti ogni volta con la proprietà distributiva: la formula serve solo ad arrivare al risultato più in fretta e con meno errori.
Si leggono anche al contrario. Letta da sinistra a destra, una formula serve a sviluppare un prodotto; letta da destra a sinistra, serve a scomporre un polinomio in fattori. È per questo che vanno conosciute bene in entrambi i versi.
Il quadrato di binomio
La formula
Il quadrato del primo, più il doppio prodotto dei due, più il quadrato del secondo.
Non è una regola da accettare per fede: basta svolgere la moltiplicazione.
Se il secondo termine è negativo cambia solo il segno del doppio prodotto, perché i due quadrati restano comunque positivi:
Il termine centrale è quello che si dimentica: (a + b)2 non è a2 + b2. Una prova numerica chiude la questione in cinque secondi: (2 + 3)2 = 25, mentre 4 + 9 = 13.
Somma per differenza
La formula
Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è la differenza dei quadrati.
Anche qui il conto è breve: i due prodotti misti si elidono a vicenda.
Questa formula è anche la più comoda per il calcolo mentale, perché trasforma una moltiplicazione difficile in una differenza facile:
Il quadrato di un trinomio
La formula
La somma dei quadrati di tutti i termini, più il doppio prodotto di ogni coppia possibile.
Lo schema si estende a quante parole si vuole: i quadrati sono tanti quanti i termini, i doppi prodotti sono tanti quante le coppie. Con tre termini le coppie sono tre, con quattro termini diventano sei.
I segni vanno tenuti attaccati ai termini: in questo esempio il terzo termine è −1, quindi il doppio prodotto con x vale −2x.
Il cubo di binomio
La formula
Quattro termini: gli esponenti di a scendono da 3 a 0 mentre quelli di b salgono da 0 a 3, con i coefficienti 1, 3, 3, 1.
Con il secondo termine negativo i segni si alternano, perché ogni potenza dispari di −b resta negativa:
I coefficienti: il triangolo di Tartaglia
I numeri 1, 3, 3, 1 non sono casuali. Ogni riga del triangolo di Tartaglia dà i coefficienti della potenza corrispondente del binomio, e ogni numero si ottiene sommando i due che gli stanno sopra.
| potenza | coefficienti |
|---|---|
| (a + b)⁰ | 1 |
| (a + b)¹ | 1 1 |
| (a + b)² | 1 2 1 |
| (a + b)³ | 1 3 3 1 |
| (a + b)⁴ | 1 4 6 4 1 |
| (a + b)⁵ | 1 5 10 10 5 1 |
Così non serve memorizzare nulla oltre la regola di costruzione: per (a + b)4 si scrivono le potenze decrescenti di a, quelle crescenti di b e davanti i numeri 1, 4, 6, 4, 1.
Somma e differenza di cubi
Questi due si incontrano soprattutto al contrario, quando serve scomporre. Vale la pena verificarli svolgendo il prodotto: tutti i termini intermedi si cancellano.
Nel secondo fattore il segno centrale è sempre l'opposto di quello del primo fattore, e il doppio prodotto non è doppio: è ab, non 2ab. Sono i due dettagli che distinguono questa formula dal quadrato di binomio.
Tutto in una tabella
| Prodotto | Sviluppo |
|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| (a + b)(a − b) | a² − b² |
| (a + b + c)² | a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc |
| (a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| (a − b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| (a + b)(a² − ab + b²) | a³ + b³ |
| (a − b)(a² + ab + b²) | a³ − b³ |
Errori da evitare
- Distribuire l'esponente su una somma: (a + b)² = a² + b² è sbagliato, manca il doppio prodotto, a² + 2ab + b².
- Dimenticare il quadrato del coefficiente: (3x + 1)² = 3x² + 6x + 1 è sbagliato, si scrive 9x² + 6x + 1.
- Sbagliare il segno nel quadrato della differenza: il quadrato del secondo termine è sempre positivo, (x − 4)² = x² − 8x + 16.
- Confondere a2 − b2 con (a − b)2: la differenza di quadrati si scompone in (a + b)(a − b), non in un quadrato.
- Cercare di scomporre a2 + b2: la somma di due quadrati non è un prodotto notevole e non si scompone.
Da tenere a mente
- Ogni prodotto notevole è solo una moltiplicazione già svolta: nel dubbio, rifalla con la proprietà distributiva.
- Nel quadrato di binomio il termine centrale è il doppio prodotto; nella scomposizione dei cubi il prodotto è singolo.
- Le formule si usano nei due sensi: da sinistra per sviluppare, da destra per scomporre.
- Il grado del risultato si controlla a occhio: il quadrato di un binomio di primo grado ha grado 2, il cubo grado 3.
- Per verificare uno sviluppo, sostituisci un numero comodo (per esempio a = 2, b = 1) nella scrittura di partenza e in quella finale: devono dare lo stesso valore.
- Somma per differenza è anche una scorciatoia di calcolo: 97 · 103 = 1002 − 32.
Scheda di matematica — i prodotti notevoli.