Equazioni di
primo grado
e rette
Un'equazione di primo grado ha una sola soluzione; la funzione corrispondente ha per grafico una retta. Coefficiente angolare, retta per due punti, perpendicolarità e intersezioni.
Equazioni di primo grado
Un'equazione è di primo grado quando l'incognita compare solo alla prima potenza. Dopo aver svolto i calcoli si arriva sempre alla forma normale:
Se a ≠ 0 la soluzione è unica e si ottiene isolando l'incognita:
Per esempio, da 3x − 6 = 0 si ricava x = 2. Geometricamente questo numero è l'ascissa del punto in cui la retta y = 3x − 6 incontra l'asse x: risolvere l'equazione significa chiedersi dove la funzione vale zero.
I due casi limite: se a = 0 e b ≠ 0 l'equazione è impossibile (nessuna soluzione); se a = 0 e b = 0 è indeterminata e ogni numero la soddisfa.
L'equazione della retta
Alla funzione di primo grado corrisponde una retta, che si scrive in forma esplicita:
I due numeri hanno un significato preciso e leggibile sul disegno.
Il coefficiente angolare m misura la pendenza: indica di quanto sale (o scende) la retta ogni volta che ci si sposta di una unità verso destra. Se m > 0 la retta è crescente, se m < 0 è decrescente, se m = 0 è orizzontale.
Il termine noto q è l'ordinata all'origine: è il valore di y quando x = 0, cioè la quota a cui la retta taglia l'asse verticale.
Le rette verticali fanno eccezione: non si possono scrivere come y = mx + q, perché a una stessa x corrispondono infinite y. La loro equazione è del tipo x = k.
Disegnare una retta
Per una retta bastano due punti, quindi si possono seguire due strade.
- Con una tabella di valori. Si scelgono due valori comodi di x, si calcolano le y corrispondenti, si segnano i due punti e si traccia la retta che li unisce.
- Partendo da q. Si segna il punto (0 ; q) sull'asse verticale, poi ci si sposta di una unità a destra e di m unità in verticale (in su se m è positivo, in giù se negativo). Si ottiene il secondo punto.
Per la retta y = 2x − 1 della prima figura:
| x | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|
| y = 2x − 1 | −1 | 1 | 5 |
Conviene calcolare un terzo punto e verificare che sia allineato con gli altri due: è il modo più rapido per accorgersi di un errore di conto.
La retta per due punti
Dati due punti distinti A (xA ; yA) e B (xB ; yB), passa per essi una sola retta. Il suo coefficiente angolare è il rapporto fra la salita e lo spostamento orizzontale:
Trovato m, il termine noto si ricava imponendo il passaggio per uno dei due punti: q = yA − m xA.
Esempio
Con A (−1 ; 1) e B (2 ; 7):
Se xA = xB il denominatore si annulla: i due punti sono uno sopra l'altro e la retta è verticale, di equazione x = xA.
Parallele e perpendicolari
Due rette non verticali hanno la stessa direzione quando hanno lo stesso coefficiente angolare. Sono invece perpendicolari quando i loro coefficienti angolari sono antireciproci: uno è l'inverso dell'altro cambiato di segno.
m1 = m2
Rette parallele: stessa pendenza, q diverso. Non si incontrano mai.
m1 · m2 = −1
Rette perpendicolari: si incontrano formando quattro angoli retti.
La condizione di perpendicolarità si usa spesso in questa forma, per costruire la perpendicolare a una retta data:
Per esempio, la perpendicolare a y = 2x + 3 ha coefficiente angolare −1/2: dove la prima sale di due, la seconda scende di mezza unità.
Caso particolare: una retta orizzontale (m = 0) e una verticale (x = k) sono perpendicolari, ma la formula non si applica perché la verticale non ha coefficiente angolare.
Intersezione fra due rette
Il punto comune a due rette ha coordinate che soddisfano entrambe le equazioni. Trovarlo significa quindi risolvere un sistema:
Con il metodo del confronto si uguagliano i due secondi membri, si ottiene un'equazione di primo grado in x e si sostituisce il risultato in una delle due equazioni per ricavare y.
Esempio
Cerchiamo il punto comune a r: y = 2x − 1 e s: y = −x + 5.
Il sistema può anche non avere soluzione unica, e il disegno lo spiega subito: se le rette sono parallele distinte non c'è nessun punto in comune e il sistema è impossibile; se sono coincidenti i punti comuni sono infiniti e il sistema è indeterminato.
Provalo tu: due rette sul piano
La retta r si costruisce per due punti: clicca sul piano per fissare A e poi B. La retta s si regola con i cursori di m e q. Sotto compaiono le equazioni, la posizione reciproca e l'eventuale punto di intersezione.
Due rette incidenti, lette sul disegno
La figura mostra la retta r costruita per A (0 ; −1) e B (2 ; 3), insieme alla retta s. Sotto al piano si leggono le due equazioni in forma esplicita, la loro posizione reciproca e il punto in cui si incontrano.
Il punto di intersezione è la soluzione del sistema formato dalle due equazioni: si individua sul disegno e si controlla sostituendo le sue coordinate in entrambe. Qui cade proprio su B, che era già servito per costruire r.
Da tenere a mente
- Un'equazione di primo grado con a ≠ 0 ha una sola soluzione: x = −b/a.
- y = mx + q: m è la pendenza, q il punto di partenza sull'asse y.
- Coefficiente angolare per due punti: m = (yB − yA) / (xB − xA).
- Parallele: m1 = m2. Perpendicolari: m1 · m2 = −1.
- Per verificare se un punto appartiene a una retta, si sostituiscono le sue coordinate nell'equazione: se l'uguaglianza è vera, il punto ci sta.
- Le rette verticali x = k non hanno coefficiente angolare e non si scrivono nella forma esplicita.
Scheda di matematica — equazioni di primo grado, rette e sistemi.