La scomposizione
in fattori
Scomporre significa riscrivere una somma come un prodotto. È l'operazione inversa dei prodotti notevoli, e serve ogni volta che bisogna semplificare una frazione algebrica o risolvere un'equazione.
Che cosa vuol dire scomporre
Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado più basso. Si parte da una somma e si arriva a una moltiplicazione, senza cambiare il valore dell'espressione.
Non tutti i polinomi si possono scomporre: quelli che non si riescono a spezzare in fattori di grado minore si dicono irriducibili, esattamente come i numeri primi fra gli interi. Per esempio x2 + 1 è irriducibile.
La verifica è sempre a portata di mano: basta rifare la moltiplicazione. Se il prodotto dei fattori non restituisce il polinomio di partenza, la scomposizione è sbagliata.
A che cosa serve
Non è un esercizio fine a sé stesso. Un prodotto si può semplificare (nelle frazioni algebriche si eliminano i fattori comuni) e soprattutto si può annullare: se un prodotto vale zero, almeno uno dei fattori è zero. È il modo più diretto per risolvere molte equazioni.
Da dove cominciare
Davanti a un polinomio conviene seguire sempre lo stesso ordine di controlli, invece di andare a tentativi.
- Cerca un fattore comune a tutti i termini e mettilo in evidenza. È il primo passo in assoluto e semplifica tutto il resto.
- Conta i termini rimasti dentro la parentesi: il numero dei termini suggerisce quale schema provare.
- Riconosci il prodotto notevole corrispondente, oppure prova il raccoglimento parziale o la regola somma-prodotto.
- Ricontrolla ogni fattore ottenuto: spesso uno dei due si può scomporre ancora. Si finisce solo quando tutti i fattori sono irriducibili.
| Termini | Che cosa provare | Esempio |
|---|---|---|
| 2 | differenza di quadrati; somma o differenza di cubi | x² − 9 ; a³ + 8 |
| 3 | quadrato di binomio; regola somma-prodotto; formula con il discriminante | x² + 6x + 9 ; x² − x − 6 |
| 4 | raccoglimento parziale; cubo di binomio | ax + ay + bx + by |
| 6 | quadrato di trinomio | a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc |
Raccoglimento a fattore comune
La regola
Si mette in evidenza il massimo fattore comune: il MCD dei coefficienti e ogni lettera presente in tutti i termini, presa con l'esponente più piccolo.
Quando un termine coincide con il fattore raccolto, nella parentesi resta 1, non 0. È l'errore più frequente di tutto il capitolo: 3x2y : 3x2y = 1.
A volte il fattore comune è un'intera parentesi:
Raccoglimento parziale
Con quattro termini (o comunque un numero pari) si può provare a raggrupparli a due a due, raccogliere dentro ciascun gruppo e sperare che compaia una parentesi uguale, da mettere a sua volta in evidenza.
Se dopo il primo raccoglimento le due parentesi non coincidono, conviene cambiare l'abbinamento dei termini prima di concludere che il metodo non funziona.
Riconoscere i prodotti notevoli
Qui le formule dei prodotti notevoli si leggono da destra verso sinistra. È la parte in cui serve più occhio che calcolo: bisogna accorgersi della forma.
Differenza di due quadrati
La somma di due quadrati, invece, è irriducibile: x2 + 4 non si scompone.
Trinomio quadrato perfetto
Si riconosce così: due termini sono quadrati (e positivi), il terzo è il doppio prodotto delle loro basi. Il segno del doppio prodotto diventa il segno dentro la parentesi.
Cubo di binomio
Somma e differenza di cubi
Nel secondo fattore il termine centrale è ab, non 2ab, e ha segno opposto a quello del primo fattore.
Il trinomio di secondo grado
Quando il trinomio non è un quadrato perfetto resta la via della somma e prodotto. Se il coefficiente di x2 è 1, si cercano due numeri la cui somma sia il coefficiente centrale e il cui prodotto sia il termine noto.
La regola
Conviene partire dal prodotto: le coppie di divisori del termine noto sono poche, e fra quelle si cerca la coppia che dà la somma giusta.
Se i numeri interi non esistono, o se il coefficiente di x2 è diverso da 1, si passa dalle soluzioni dell'equazione associata:
Se Δ < 0 il trinomio è irriducibile: non esistono soluzioni reali, quindi non esistono fattori di primo grado.
Un esercizio completo
Le scomposizioni vere quasi mai si risolvono in un colpo solo: si applicano più metodi in sequenza, fermandosi quando ogni fattore è irriducibile.
Errori da evitare
- Lasciare il risultato come somma: se alla fine non c'è un prodotto, il polinomio non è scomposto.
- Scrivere zero al posto di uno nel raccoglimento: 5x² + 5x = 5x(x + 0) è sbagliato, si scrive 5x(x + 1).
- Tentare di scomporre una somma di quadrati: x² + 9 = (x + 3)² è falso, e x² + 9 è irriducibile.
- Fermarsi troppo presto: x⁴ − 16 = (x² + 4)(x² − 4) è corretto ma incompleto, il secondo fattore si scompone ancora.
- Raccogliere un fattore che non c'è in tutti i termini: deve comparire in ciascuno, altrimenti non è comune.
Da tenere a mente
- Primo controllo sempre uguale: c'è un fattore comune? Poi si conta il numero dei termini.
- Scomporre è l'inverso di moltiplicare: per verificare, rifai il prodotto.
- Differenza di quadrati sì, somma di quadrati no.
- Un trinomio è quadrato perfetto solo se il termine centrale è il doppio prodotto delle basi; altrimenti si prova con somma e prodotto.
- Si continua finché ogni fattore è irriducibile: spesso serve più di un passaggio.
- Una scomposizione ben fatta rende immediato risolvere l'equazione associata, grazie alla legge di annullamento del prodotto.
Scheda di matematica — la scomposizione dei polinomi in fattori.